Fragment af Euclids elementer

Fragment af Euclids elementer


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.


Fragment af Euclids elementer - historie

Euclids elementer - 2.500 års historie
Bob Gardner
East Tennessee State University
Institut for Matematik og Statistik
Johnson City, TN 37614

Andre oversættelser af Elementerne


Bodleiansk manuskript (888 CE)
Billede fra: http://www.claymath.org/euclid/ Det bodleiske manuskript stammer fra 888 CE. Dette manuskript indeholder bøger I til XV af Elementer med mange "scholia" eller forklarende kommentarer.

Clay Mathematics Institute's websted erklærer denne udgave "det tidligste 'komplette' manuskript af Euclids Elementer og ifølge udstillingskataloget i Bodleian Library er det det ældste manuskript af en klassisk græsk forfatter, der har en dato. "Det" er blevet bevaret i Bodleian Library, Oxford, England siden 1804, blev skrevet på pergament i Konstantinopel. " En komplet digital kopi er tilgængelig online på Clay Mathematics -webstedet (http://www.claymath.org/euclid/).


Vatikanets manuskriptnummer 190 (10. århundrede)
Billede fra: http://www.ibiblio.org/expo/vatican.exhibit/exhibit/d-mathematics/Greek_math.html Vatikanets manuskriptnummer 190. Dette stammer fra det 10. århundrede. og indeholder bøgerne I til XII af Elementer med scholia, derefter Marinus 'kommentar til Data med scholia. Derefter de såkaldte "Bøger XIV og XV" af Elementer præsenteres, efterfulgt af tre bøger og en del af en fjerdedel af en kommentar af Theon. Selvom kommentarer fra Theon er vedhæftet, afslører forskning, at hovedteksten er ældre end andre tilgængelige versioner, der viser indflydelse på ændringer af Theon [Heath, side 46].

  • Manuskript XXXVIII, 3 fra Laurentian Library i Firenze, Italien, der stammer fra det 10. århundrede, omfatter bøger I-XV, Optik, og Fænomener.
  • Manuskripter 18 og 19 fra det kommunale bibliotek i Bologna, Italien fra det 11. århundrede omfatter bøger I-XIII og Data.
  • Wiens manuskript fra det 12. århundrede, som omfatter bøger I-XV, Optik, og Fænomener.
  • To Paris -manuskripter fra 1100 -tallet.


Oxyrhynchus papyrus
Billede fra: http://scientists.penyet.net/euclid-the-father-of-geometry.html Der findes et par gamle fragmenter af papyrus, som indeholder dele af Elementerne. En af de ældste hedder Oxyrhynchus Papyrus og stammer fra omkring 100 e.Kr. Her ser vi et diagram fra bog II, forslag 5.


Det første trykte Elementer
Billede fra: http://www.historyofscience.com/G2I/timeline/index.php?category=Mathematics+%2F+Logic Den første trykte version af Elementerne optrådte i 1482 i Venedig. Teksten var baseret på en oversættelse fra arabisk til latin formentlig lavet af Abelard of Bath i det 12. århundrede, redigeret og kommenteret af Giovanni Compano. Det indeholdt over 400 figurer.


Indhold

Euklid var en græsk matematiker, der skrev Elementer i Alexandria i den hellenistiske periode (omkring 300 f.Kr.). Forskere mener, at Elementer er stort set en samling af sætninger bevist af andre matematikere såvel som indeholdende nogle originale værker. Proclus, en græsk matematiker, der levede flere århundreder efter Euklid, skriver i sin kommentar til Elementer: "Euklid, der sammensatte grundstofferne, indsamlede mange af Eudoxus 'sætninger, fuldendte mange af Theaetetos og bragte også til uigenkaldelig demonstration de ting, som kun noget løst blev bevist af hans forgængere".

En version af en elev af Euklid kaldet Proclo blev senere oversat til arabisk efter at være blevet hentet af araberne fra Byzantium og fra disse sekundære oversættelser til latin. Den første trykte udgave udkom i 1482 (baseret på Giovanni Campanos 1260 -udgave), og siden er den blevet oversat til mange sprog og udgivet i omkring tusind forskellige udgaver. I 1570 leverede John Dee et meget respekteret "matematisk forord" sammen med rigelige noter og supplerende materiale til den første engelske udgave af Henry Billingsley.

Kopier af den græske tekst findes også, f.eks. i Vatikanbiblioteket og Bodleian -biblioteket i Oxford. De tilgængelige manuskripter er imidlertid af meget varierende kvalitet og uundgåeligt ufuldstændige. Ved en grundig analyse af oversættelserne og originalerne er der blevet trukket hypoteser om indholdet i den originale tekst (kopier heraf er ikke længere tilgængelige).

Gamle tekster, der refererer til Elementer sig selv og andre matematiske teorier, der var aktuelle på det tidspunkt, det blev skrevet, er også vigtige i denne proces. Sådanne analyser udføres af J. L. Heiberg og Sir Thomas Little Heath i deres udgaver af teksten.

Også af betydning er scholia eller kommentarer til teksten. Disse tilføjelser, der ofte adskilte sig fra hovedteksten (afhængig af manuskriptet), akkumulerede gradvist over tid, da meninger varierede om, hvad der var værd at forklare eller belyse. Nogle af disse er nyttige og tilføjer til teksten, men mange er ikke.


Fragment af Euclids elementer - historie

Euclid er kendt for næsten enhver gymnasieelev som forfatter til The Elements, den længe studerede tekst om geometri og talteori. Ingen anden bog end Bibelen er blevet oversat så vidt og bredt. Fra det blev skrevet blev det betragtet som et ekstraordinært værk og blev undersøgt af alle matematikere, selv den største matematiker i antikken - Archimedes, og sådan har det været gennem de 23 århundreder, der er fulgt. Det er utvivlsomt den bedste matematiktekst, der nogensinde er skrevet og vil sandsynligvis forblive det i en fjern fremtid.

Dette er en miniatur fra manuskriptet til de romerske landmålere fundet i Wolfenb üttel, 6. århundrede e.Kr.

Lidt er kendt om Euclid, fl. 300BC, forfatteren til The Elements. Han underviste og skrev på museet og biblioteket i Alexandria, som blev grundlagt af Ptolemaios I.

Næsten alt om ham stammer fra Proclus 'kommentar, 4. øre e.Kr. Han skriver, at Euclid samlede Eudoxus 'sætninger, perfektionerede mange af Theaetetus' og gennemførte fragmentariske værker efterladt af andre.

Euklid siges at have sagt til den første Ptolemaios, der spurgte, om der var en kortere måde at lære geometri end elementerne:

Elementerne - Grundlæggende fakta

  • skrevet for 2300 år siden,
  • ingen eksemplarer findes,
  • et par potteskår fra 225 f.Kr. indeholder noter om nogle forslag,
  • Mange nye udgaver blev udgivet (f.eks. Theon of Alexandria, cent. AD)
  • Den tidligste kopi stammer fra 888AD - i Oxford
  • Stil: ingen eksempler, ingen motiver, ingen beregning, ingen vittige bemærkninger, ingen introduktion, ingen præambel --- intet andet end sætninger og deres beviser.
  1. Elementerne
  2. Data - en ledsager til de første seks bøger i elementerne skrevet til begyndere. Det indeholder geometriske metoder til løsning af kvadratik.
  3. Opdeling af figurer-en samling af 36 forslag til opdeling af flykonfigurationer. Det overlevede kun af arabiske oversættere.
  4. Fænomener - på sfærisk geometri ligner det værket fra Autolycus
  5. Optik - et tidligt arbejde med perspektiv, herunder optik, katoptrik og dioptri.

  1. Porismer - muligvis en gammel version af analytisk geometri.
  2. Overflade Loci -?
  3. Pseudaria -?

Elementerne - Struktur: Tretten bøger

  • Bøger I-VI-Flygeometri
  • Bøger VII-IX-Talsteori
  • Bog X - Inkommensurables
  • Bog XI-XIII-Solid geometri

Elementerne - Typisk bog

  • Definitioner
  • Aksiomer - indlysende for alle
  • Postulater - især for emnet ved hånden
  • Sætninger
  • Postulater - 5
    1. At tegne en lige linje fra et hvilket som helst punkt til et hvilket som helst punkt.
    2. At producere en endelig lige linje kontinuerligt i en lige linje.
    3. At beskrive en cirkel med ethvert center og afstand.
    4. At alle rette vinkler er lig med hinanden.
    5. At hvis en lige linje, der falder på to lige linjer, gør de indvendige vinkler på samme side mindre end til rette vinkler, møder de to lige linjer, hvis de fremstilles på ubestemt tid, på den side, hvor vinklerne er mindre end til højre vinkler.
  • Aksiomer - 5
    1. Ting, der er lig med det samme, er også lig med hinanden.
    2. Hvis lig tilføjes til lig, er helhederne ens.
    3. Hvis lig er trukket fra lig, er resterne ens.
    4. Ting, der falder sammen med hinanden, er lig med hinanden.
    5. Det hele er større end delen.
  • En syllogisme: `` en syllogisme i diskurs, hvor visse ting, der er angivet, noget andet end det, der er angivet, følger af nødvendighed af, at de er det. & Quot Eksempel: Hvis alle aber er primater og alle primater er pattedyr, følger det, at alle aber er pattedyr.
  • modus ponens: Hvis p, så q. . Derfor q.
  • modus tolens: Hvis p, så q. Ikke q. Derfor ikke p.

For at bevise denne konstruktion cirkler ved A og B i radius AB. Argumenter for, at skæringspunktet C er lige langt fra A og B, og da det ligger på cirklerne, er afstanden AB.

Bemærk, at i forslag I-1 kan Euclid kun appellere til definitionerne og postulaterne. Men han bruger ikke de aristoteliske syllogismer, han bruger snarere modus ponens. Bemærk også, at der er en subtil antagelse om planets kontinuerlige karakter i den visuelle antagelse om, at cirklerne skærer hinanden. Fejl af denne type gik i det væsentlige uløste indtil moderne tid.

Proposition I-4. (SAS) Hvis to trekanter har to sider, der er lig med henholdsvis to sider og har vinklerne indeholdt af de samme sider også ens, så er de to trekanter kongruente.

Bemærk: I moderne behandlinger af almindelig geometri er dette forslag givet som et postulat.

Bemærk: Det moderne udtryk kongruent bruges her og erstatter Euclids påstand om, at `` hver del af en trekant er lig med den tilsvarende del af den anden. & Quot

Proposition I-5. I ensartede trekanter er vinklerne ved basen lig med hinanden, og hvis de lige lige linjer frembringes yderligere, vil vinklerne under basen være lig med hinanden.

Bevis. Forlæng AC til D og AC til E. Mærke med lige store afstande BF og CG på deres respektive segmenter. Nu argumenterer du for, at da AF og AG er ens, og AC og AB er ens, og trekanterne ACF og ABG deler den inkluderede vinkel ved A, skal de være kongruente. Dette betyder, at siderne FC og GB er ens. Derfor er trekanter FCB og GCB (SAS) kongruente. Derfor er vinklerne og ens, hvoraf konklusionen følger.

Dette er beviset givet af Euclid. Mange af sætningerne i Elements har enklere beviser, fundet senere. Denne er ingen undtagelse. Følgende bevis blev givet af Pappus: Bemærk, at de to trekanter BAC og CAB er SAS (side-vinkel-side) kongruente. Derfor er vinklerne ved B og C ens.

Proposition I-6. Hvis to vinkler i en trekant er lig med hinanden, så er de modsatte sider også ens.

  1. B er lig med C. Antage .
  2. Antag AB & gt AC. Gør D, så DC = AB.
  3. Argumenter nu for, at trekanterne ABC og DBC er kongruente.
  4. Således er delen lig med helheden.

Proposition I-29. En lige linje, der skærer to parallelle lige linjer, gør de alternative vinkler lig med hinanden, den udvendige vinkel lig med den indvendige og modsatte vinkel, og de indvendige vinkler på samme side er lig med to rette vinkler.

  1. Antage .
  2. Så er summen af ​​og større end summen af ​​og.
  3. Men den første sum er to rette vinkler. (Prob I-13.)
  4. Således er den anden sum mindre end to rette vinkler, og derfor er linjen ikke parallel.

Elementerne - Bog II - 14 sætninger

Bog II er anderledes end bog I, idet den omhandler rektangler og firkanter. Det kan betegnes geometrisk algebra. Der er en vis debat blandt euklidiske lærde om, hvorvidt det blev hentet direkte fra babylonisk matematik. Under alle omstændigheder er det bestemt vanskeligere at læse det bog I -materiale.

Definition. Ethvert rektangel siges at være indeholdt af de to lige linjer, der danner den rigtige vinkel.

Euklid multiplicerer aldrig længden og bredden for at opnå areal. Der er ingen sådan proces. Han multiplicerer tal (heltal) gange længde.

II-1. Hvis der er to lige linjer, og en af ​​dem er skåret i et vilkårligt antal segmenter uanset hvad, er rektanglet indeholdt af de to lige linjer lig med summen af ​​rektanglerne indeholdt af den uklippede lige linje og hvert af segmenterne.

Det skal være klart, at dette er den distributive lov for multiplikation ved addition. Alligevel udtrykkes det rent i form af geometri.

1. Lad A og BC være de to linjer. Lav de tilfældige nedskæringer ved D og E.

2. Lad BF tegnes vinkelret på BC og skæres ved G, så BG er det samme som A. Udfyld diagrammet som vist.

3. Så er BH lig med BK, DL, EH

4. Argumenter nu for, at helheden er summen af ​​delene.

II-2. Hvis en lige linje skæres tilfældigt, er rektanglet indeholdt af hele og begge segmenter lig med kvadratet i det hele.

II-4. Hvis en lige linje skæres tilfældigt, er kvadratet i det hele taget lig med firkanterne på segmenterne og to gange rektanglet indeholdt i segmenterne.

Bemærk enkelheden i visualisering og forståelse for binomial sætning for n = 2.

Mange propositioner giver geometriske løsninger til kvadratiske ligninger.

II-5. Hvis en lige linje skæres i lige og ulige segmenter, er rektanglet indeholdt af de ulige segmenter af helheden sammen med firkanten på den lige linje mellem snitpunkterne lig med kvadratet på halvdelen.

Dette forslag oversættes til den kvadratiske ligning

II-14. At konstruere en firkant svarende til en given retlinet figur.

2. Konstruer midt på AB, og frembring linjen EG med længde (a + c)/2.

3. Derfor er længden af ​​segmentet FG (a - c)/2.

4. Forlæng linje -CD'en til P, og konstruer linjen GH med længde (a + c)/2 (H er på denne linje.).

5. Ved Pythagoras sætning har længden af ​​linjen FH kvadrat givet ved

Elementerne - Bog III - 37 sætninger

Bog III vedrører cirkler, begynder med 11 definitioner om cirkler. For eksempel er definitionen af ​​cirkels lighed givet (= hvis de har samme diameter). Tangens er interessant, idet den i høj grad er afhængig af visuel intuition:

Definition 2. En lige linje siges at røre ved en cirkel, der, når man møder cirklen og bliver produceret, ikke skærer cirklen.

Deninition 3. Et segment af en cirkel er figuren indeholdt af en lige linje og en omkreds af en cirkel.

Andre begreber er segmenter, vinkler på segmenter og lighed mellem segmenter af cirkler er givet.

Euklid begynder med det grundlæggende:

III-1. At finde midten af ​​en given cirkel.

III-2. Hvis to punkter tilfældigt tages på omkredsen af ​​en cirkel, falder den lige linje, der forbinder punkterne, inden for cirklen.

III-5. Hvis to cirkler skærer (berører) hinanden, har de ikke det samme center.

Det omvendte problem: III-9. Hvis der tages et punkt inden for en cirkel, og mere end to lige lige linjer falder fra punktet på cirklen, er det punkt, der er taget, midten af ​​cirklen.

III-11. Hvis to cirkler rører hinanden internt, og deres centre tages, falder den lige linje, der forbinder deres centre, hvis den også fremstilles, på kontaktpunktet.

III-16. Den lige linje trukket vinkelret på diameteren af ​​en cirkel fra dens ekstremitet vil falde uden for cirklen, og ind i mellemrummet mellem den lige linje og omkredsen kan en anden lige linje ikke anbringes. .

III-31. (Thales sætning) I en cirkel er vinklen i halvcirklen rigtig, og yderligere,. .

Elementerne - Bog IV - 16 sætninger

Konstruktion af regelmæssige polygoner var en bekymring for grækerne. Det er klart, at ligesidede trekanter og firkanter kan konstrueres, det vil sige indskrevet i en cirkel. Bisektion tillader et vilkårligt antal fordoblinger, f.eks. sekskanter og ottekanter. Den indskrevne femkant er en mere udfordrende konstruktion. Denne bog er dedikeret til at omskrive og indskrive regelmæssige og uregelmæssige polygoner i cirkler.

IV-5. Om en given trekant for at omskrive en cirkel.

IV-10. At konstruere en ensartet trekant med hver af vinklerne i bunden af ​​den resterende.

IV-10 er nøglen til at bevise den fejrede

IV-11. I en given cirkel for at indskrive en ligesidet og ligesidet femkant.

Elementerne - Bog IV - opdatering

Den næste normale figur, der skulle indskrives i en cirkel, var 17-gon. Og dette blev udført af ikke mindre en matematiker end Carl Frederich Gauss i 1796, da han kun var 18.

Da han var student på G öttingen, begyndte han faktisk at arbejde på sin store publikation Disquisitiones Arithmeticae, en af ​​de store klassikere i den matematiske litteratur. Mod slutningen af ​​dette arbejde inkluderede han dette resultat om 17-gon men mere.

Han beviste, at det KUN er de almindelige polygoner, der kan indskrives i en cirkel

sider, hvor m er et heltal og p'erne er Fermat -primtal.

Husk, at Fermat -primtal er primer af formen

Vi har følgende tabel med polygoner, der kan indskrives i en cirkel:

Er alle sådanne tal, primtal? Nej, Euler beviser, at den næste er sammensat. Ingen andre kendes. En samtid af Gauss, Fernidand Eisenstein (1823-1852) formodede følgende undergruppe af Fermat-tallene består kun af primtal:

men dette er ikke blevet verificeret. De tre første er Fermat -primtalene, 5, 17, 65.537. Det næste tal har mere end 45.000 cifre.

Elementerne - Bog V - 25 sætninger

Bog V behandler forhold og andel. Euklid begynder med 18 definitioner om størrelser, der begynder med en del, flere, forhold, være i samme forhold og mange andre. Overvej definition 5 på samme forhold.

Definition 1. En størrelse er en del af en størrelse, jo mindre af den større, når den måler den større.

Det betyder, at det deler det større uden rest.

Definition 4. Størrelser siges at have et forhold til hinanden, som er i stand til, når de multipliceres, at overstige på et andet.

Dette er i det væsentlige det arkimediske aksiom: Hvis a & lt b, så er der et helt tal n sådan, at na & gt b.

I den moderne teori om delvist ordnede rum spilles en særlig rolle af de rum, der har den såkaldte Archimedian Property.

Definition 5. Størrelser siges at være i det samme forhold, den første til den anden og den tredje til den fjerde, når, hvis der er taget nogen lighed af det første og det tredje og det tredje og det fjerde, uanset hvilket andet og fjerde, tidligere ækvimultipler ens overstiger, er ens lig med eller falder ikke til sidstnævnte ækvivalente taget henholdsvis i tilsvarende rækkefølge.

I moderne notation siger vi, at størrelserne, a, b, c, d er i samme forhold a: b = c: d hvis

V-1. Hvis der er et hvilket som helst antal størrelser uanset hvilke der er henholdsvis ækvivalent af flere størrelser, der er lige store i mængder, så uanset hvilken multipel en af ​​størrelserne er af en, vil denne multipel også alle være af alle.

I moderne notation, lad størrelserne være og lad m være multiple. Derefter,

V-8. Af ulige størrelser har jo større det samme et større forhold end det mindre har og det samme har til det mindre et større forhold end det har til det større.

I moderne sigt, lad a & gt b, og c er givet. Derefter

Elementerne - Bog VI - 33 sætninger

Bog VI handler om ligheder mellem figurer. Det begynder med tre definitioner.

Definition 1. Lignende rectilineal figurer er sådan, at deres vinkler er adskillige ens og siderne omkring de samme vinkler proportionale.

Definition 3. Højden på en hvilken som helst figur er vinkelret trukket fra toppunktet til basen.

VI-1. Trekanter og parallelogrammer, der er under samme højde, er til hinanden som deres baser.

VI-5. Hvis to trekanter har deres sider proportionale, vil trekanterne være lige store og have de samme vinkler, som de tilsvarende sider subtenderer.

VI-30. At skære en given endelig linje i ekstreme og middelværdige forhold.

Selvfølgelig skal du bevise al ligheden grundigt.

Elementerne - Bog VII - 39 sætninger

Bog VII er den første bog af tre om talteori. Euklid begynder med definitioner af enhed, tal, dele af, multiplum af, ulige tal, lige tal, primtal og sammensatte tal osv.

Definition 11. Et primtal er det, der måles af enheden alene.

Definition 12. Tallene primer til hinanden er dem, der måles af enheden alene som en fælles målestok.

VII-21. Tal primt til hinanden er de mindste af dem, der har samme forhold til dem.

VII-23. Hvis to tal er primtal til hinanden, vil det tal, der måler det ene af dem, være primtal til det resterende tal.

VII-26. Hvis to tal er primtallige til to tal, begge til hver, vil deres produkter også være primtallige til hinanden.

VII-31. Ethvert sammensat tal måles med et primtal.

VII-32. Ethvert tal er enten primtal eller måles med et primtal.

Elementerne - Bog VIII - 27 sætninger

Bog VIII fokuserer på det, vi nu kalder geometriske fremskridt, men blev kaldt fortsatte proportioner af de gamle. Meget af dette skyldes uden tvivl Archytas of Tarentum, en pythagoræer. Tal er i fortsat andel, hvis

hvilket selvfølgelig er det samme.

VII-1. Hvis der er så mange tal, som vi behager i fortsat andel, og ekstremerne af dem er primære til hinanden, er tallene de mindste af dem, der har samme forhold til dem.

Overvej 5: 3 og 8: 6 og 10: 6 og 16:12.

Elementerne - Bog VIII - 27 sætninger

VIII-8. Hvis der mellem to tal er tal i fortsat andel med dem, så er der dog tal mellem dem i fortsat andel, så mange vil også være i fortsat forhold mellem tal, der er i samme forhold som de originale tal.

Euklid beskæftiger sig i flere andre udsagn i Bog VIII med at bestemme betingelserne for at indsætte middelproportionelle tal mellem givne tal af forskellige typer. For eksempel,

VIII-20. Hvis et gennemsnitligt proportionelt tal falder mellem to tal, vil tallene være ens plane tal.

I moderne sprogbrug antages a: x = x: b, så

Elementerne - Bog IX - 36 sætninger

Den sidste bog om talteori, bog IX, indeholder mere velkendte typer af taltalsteori.

IX-20. Primtal er mere end nogen tildelt mængde primtal.

Bevis. Lad være alle primtalerne. Definer +1. Da N skal være sammensat, siger et af primtalene. Men dette er absurd!

Elementerne - Bog IX - 36 sætninger

IX-35. Hvis så mange tal, som vi behager, er i fortsat andel, og der er trukket fra det andet og det sidste tal lig med det første, så som overskuddet af det andet er til det første, så vil overskuddet af det sidste være til alle dem før.

Vi siger lad tallene være, Forskellene er a (r -1) og. Sætningen hævder det

Elementerne - Bog X - 115 sætninger

Mange historikere betragter dette som den vigtigste af bøgerne. Det er den længste og sandsynligvis den bedst organiserede. Formålet er klassificering af de ikke -rimelige varer. Det første forslag er grundlæggende. Det er Eudoxus 'metode til udmattelse.

X-I. Der gives to ulige størrelser, hvis der fra det større trækkes en størrelse større end dens halvdel, og fra den, der er tilbage, en størrelse større end dens halvdel, og hvis denne proces gentages løbende, vil der være en størrelse mindre end den mindre af de givne størrelser.

Dette forslag tillader en tilnærmelsesproces af vilkårlig længde.

X-36. Hvis to rationelle lige linjer i kvadrat kun må lægges sammen, er helheden irrationel.

Elementerne-Bog X1-XIII

De sidste tre kapitler i The Elements handler om solid geometri og brugen af ​​en begrænsende proces til løsning af areal- og volumenproblemer. For eksempel,

XII-2. Cirkler er til hinanden som firkanterne på diametrene.

Du vil bemærke, at der ikke er udtrykt en formel & quot.

XII-7. En pyramide er en tredje del af prismen, som har den samme base med den samme højde.


Fragment af Euclids elementer - historie

Dodecahedron og icosahedron er de mest eksotiske af de platoniske faste stoffer, fordi de har fem gange rotationssymmetri - en mulighed, der kun findes for almindelige polytoper i 2, 3 eller 4 dimensioner. Dodecahedron og icosahedron har den samme symmetrogruppe, fordi de er Poincar & eacute -dualer: hjørnerne på den ene svarer til den andens ansigter. Men icosahedron blev sandsynligvis opdaget senere. Som Benno Artmann skrev:

Den oprindelige viden om dodecahedronen kan være kommet fra krystaller af pyrit, men i modsætning hertil er icosahedron en ren matematisk skabelse. Det er den første erkendelse af en enhed, der kun eksisterede før i abstrakt tanke. (Nå, bortset fra gudernes statuer!)

Jeg er ikke sikker på, at det virkelig er noget i nærheden af ​​den første & quotrealisering af en enhed, der kun eksisterede før i abstrakt tanke & quot. Men det kan have været det første & quotexceptional & quot -objekt i matematik - groft sagt, en enhed, der ikke passer ind i noget let mønster, som opdages som en del af at bevise en klassificeringsteorem!

Andre ekstraordinære genstande omfatter den enkle Lie -gruppe E8og den begrænsede simple gruppe M12. Spændende nok er mange af disse usædvanlige objekter & quot relateret. For eksempel kan icosahedron bruges til at konstruere både E8 og M.12. Men den første interessante klassifikationsteorem var klassificeringen af ​​almindelige polyeder: konvekse polyeder med ligesidede polygoner som ansigter og det samme antal ansigter, der mødtes ved hvert toppunkt. Denne sætning vises næsten i slutningen af ​​den sidste bog om Euklids elementer - Bog XIII. Det viser, at de eneste muligheder er de platoniske faste stoffer: tetraeder, terning, oktaeder, dodecahedron og icosahedron. Og ifølge traditionel visdom blev resultaterne i denne bog bevist af Theatetus, som også opdagede icosahedronen!

Artmann citerer faktisk en & quotan gammel note skrevet i margenerne på manuskriptet & quot i bog XIII, der siger:

Du kender måske Theaetetus gennem Platons dialog med samme navn, hvor han beskrives som et matematisk geni. Han nævnes også i Platons dialog kaldet Sofisten. I Republikken, skrevet omkring 380 f.Kr., klagede Platon over, at man ikke ved nok om solid geometri:

Theaetetus synes at have fyldt hullet: han arbejdede på solid geometri mellem 380 og 370 f.Kr., måske inspireret af Platons interesse for emnet. Han døde af kampsår og dysenteri i 369 efter Athen kæmpede en kamp med Korint.

Men hvor sikre er vi på, at Theatetus opdagede - eller i det mindste studerede - icosahedronen? Det eneste hårde bevis synes at være denne & kvantiske note & quot i elementernes margener. Men hvem skrev det, og hvornår?

Først og fremmest, hvis du håber at se et ældgammelt manuskript af Euclid med en klatret note i margenen, skal du forberede dig på at blive skuffet! Alt vi har er kopier af kopier af kopier. De ældste tilbageværende fragmenter af elementerne stammer fra århundreder efter Euklides død: nogle fra et bibliotek i Herculaneum stegt ved udbruddet af Vesuvius i 79 e.Kr., et par fra Fayum -regionen nær Nilen, og nogle fra et skraldespand i egypten byen Oxyrhynchus.

Der er forskellige linjer med kopier af Euclids elementer. Sammenligning af disse for at gætte indholdet i original Elementer er en vanskelig og fascinerende opgave. Desværre, i det fjerde århundrede e.Kr., lavede den græske matematiker Theon of Alexandria - Hypatias far - en kopi, der blev ekstremt populær. Så populær i virkeligheden, at europæiske forskere i mange århundreder ikke kendte nogen kopi, der ikke havde passeret Theon! Og Theon var ikke en trofast kopist: han tilføjede ekstra forslag, forlængede nogle beviser og udelod også et par ting. Det ser ud til, at han ønskede at standardisere sproget og gøre det lettere at følge. Dette kan have hjulpet folk, der prøvede at lære geometri - men bestemt ikke forskere, der forsøgte at forstå Euklid.

I 1808 gjorde Francois Peyrard en fantastisk opdagelse. Han fandt ud af, at Vatikanets bibliotek havde en kopi af Euclids elementer, der ikke var faldet ned gennem Theon!

Denne kopi hedder nu & quotP & quot. Det går tilbage til omkring 850 e.Kr. Jeg ville elske at vide, hvordan Peyrard fik fingrene i det. Man forestiller sig, at han rodder rundt i en støvet kælder og åbner en bagagerum. men det ser ud til, at Napoleon på en eller anden måde tog dette manuskript fra Vatikanet til Paris.

I 1880'erne brugte den store danske lærde Johan Heiberg & quotP & quot sammen med forskellige & quotTheonine & quot kopier af elementerne til at forberede det, der stadig betragtes som den endelige græske udgave af denne bog. Den vigtige engelske oversættelse af Thomas Heath er baseret på dette. Så vidt jeg kan se, er & quotP & quot den eneste kendte ikke-teoniske kopi af Euclid bortset fra de fragmenter, jeg nævnte. Heath brugte også disse fragmenter til at forberede sin oversættelse.

Dette er blot et hurtigt overblik over en kompliceret kriminalroman. Som altid afslører historiens fraktalstruktur mere kompleksitet, jo nærmere du ser.

Anyway, Heath mener, at Geminus fra Rhodos skrev & quotancient note & quot i Elements, der krediterede Theatetus. Jeg er ikke sikker på, hvorfor Heath synes dette, men Geminus fra Rhodos var en græsk astronom og matematiker, der arbejdede i løbet af det 1. århundrede f.Kr.

I sin charmerende artikel & quotThe discovery of the regular fastids & quot, skriver William Waterhouse:

Engang var der ikke noget problem i de normale faste stoffers historie. Ifølge Proclus inkluderer opdagelserne af Pythagoras "konstruktionen af ​​de kosmiske faste stoffer", og tidlige historikere kunne kun antage, at emnet sprang fuldvokset fra hans hoved. Men et bedre udviklet billede af væksten i græsk geometri fik en så tidlig dato til at virke tvivlsom, og der blev afdækket beviser, der tyder på en anden tilskrivning. En grundig undersøgelse af vidnesbyrdet blev foretaget af E. Sachs, og hendes konklusion er nu generelt accepteret: tilskrivningen til Pythagoras er en senere misforståelse og/eller opfindelse.

Historien om de faste stoffer hviler således næsten udelukkende på et scholium til Euklid, der lyder som følger:

& quotI denne bog, den 13., er konstrueret de 5 figurer kaldet platoniske, som dog ikke tilhører Platon. Tre af disse 5 figurer, terningen, pyramiden og dodecahedron, tilhører pythagoræerne, mens octahedron og icosahedron tilhører Theaetetus. & Quot

Theaetetus levede ca. 415-369 f.Kr., så denne version giver en moderat sen dato, og den har den store fordel, at den virker usandsynlig. Det vil sige, at detaljerne i scholium ikke er den slags historie, man naivt ville gætte, og derfor er det sandsynligvis ikke en af ​​historierne, der blev opfundet i senantikken. Som van der Waerden siger, er scholium nu bredt accepteret & nøjagtigt fordi [det] direkte modsiger den tradition, der plejede at tilskrive Pythagoras alt, hvad der kom med. & Quot

Men sandsynlighedsargumenter kan skære begge veje, og de forskere, der tøver med at acceptere scholium, gør det primært, fordi det virker for usandsynligt. Der har været to primære stikkende steder: For det første dodecahedrons tidlighed i sammenligning med icosahedron og det andet, octahedrons overraskende forsinkelse. Den første indsigelse er imidlertid blevet forholdsvis godt afskaffet. Mineralet pyrit (FeS2) krystalliserer oftest i terninger og næsten almindelige dodecahedra, det er ret udbredt, da det er det mest almindelige sulfid, og fremragende krystaller findes på en række steder i Italien. Desuden forekommer det regelmæssigt blandet med sulfidmalmene og underliggende de oxiderede malme af kobber, disse aflejringer er blevet bearbejdet siden den tidligste antik. Således var naturlige dodecahedra iøjnefaldende, og faktisk tiltrak de opmærksomhed: kunstige dodecahedra er blevet fundet i Italien, der stammer fra før 500 f.Kr. Icosahedrale krystaller er derimod meget mindre almindelige. Hence there is no real difficulty in supposing that early Pythagorean geometers in Italy were familiar with dodecahedra but had not yet thought of the icosahedron.

Indeed, while iron pyrite gør form "pseudoicosahedra":

I've never seen one, while the "pyritohedra" resembling regular dodecahedra are pretty common:

The puzzle of why the octahedron showed up so late seems to have this answer: it was known earlier, but it was no big deal until the concept of regular polyhedron was discovered! As Waterhouse says, the discovery of the octahedron would be like the discovery of the 4rd perfect number. Only the surrounding conceptual framework makes the discovery meaningful.

So far, so good. But maybe the Greeks were not the first to discover the icosahedron! In 2003, the mathematicians Michael Atiyah and Paul Sutcliffe wrote:

Various people including John McKay and myself spread this story without examining it very critically. I did read Dorothy Marshall's excellent paper "Carved stone balls", which catalogues 387 carved stone balls found in Scotland, dating from the Late Neolithic to Early Bronze Age. It has pictures showing a wide variety of interesting geometric patterns carved on them, and maps showing where people have found balls with various numbers of bumps on them. But it doesn't say anything about Platonic solids.

In March of 2009, Lieven le Bruyn posted a skeptical investigation of Atiyah and Sutcliffe's claim. For starters, he looked hard at the photo in their paper:

Who put on the ribbons? Lieven le Bruyn traced back the photo to Robert Lawlor's 1982 book Sacred Geometry. In this book, Lawlor wrote:

But is this really true? Le Bruyn discovered that the Ashmolean owns only 5 Scottish stone balls - and their webpage shows a photo of them, which looks quite different than the photo in Lawlor's book!

They have no ribbons on them. More importantly, they're different shapes! The Ashmolean lists their 5 balls as having 7, 6, 6, 4 and 14 knobs, respectively - nothing like an icosahedron.

And here is where I did a little research of my own. The library at UC Riverside has a copy of Keith Critchlow's 1979 book Time Stands Still. In this book, we see the same photo of stones with ribbons that appears in Lawlor's book - the photo that Atiyah and Suttcliffe use. In Critchlow's book, these stones are called "a full set of Neolithic 'Platonic solids'". He says they were photographed by one Graham Challifour - but he gives no information as to where they came from!

And Critchlow explicitly denies that the Ashmolean has an icosahedral stone! Han skriver:

It seems the myth of Scottish balls shaped like Platonic solids gradually grew with each telling. Could there be any truth to it? Dorothy Marshall records Scottish stone balls with various numbers of knobs, from 3 to 135 - but just two with 20, one at the National Museum in Edinburgh, and one at the Kelvingrove Art Gallery and Museum in Glasgow. Do these look like icosahedra? I'd like to know. But even if they do, should we credit Scots with "discovering the icosahedron"? Perhaps not.

So, it seems the ball is in Theaetetus' court.

The quote from Benno Artmann appeared in a copy of the AMS Bulletin where the cover illustrates a construction of the icosahedron:

5) Benno Artmann, About the cover: the mathematical conquest of the third dimension, Bulletin of the AMS, 43 (2006), 231-235. Also available at http://www.ams.org/bull/2006-43-02/S0273-0979-06-01111-6/

For more, try this wonderfully entertaining book:

6) Benno Artmann, Euclid - The Creation of Mathematics, Springer, New York, 2nd ed., 2001. (The material on the icosahedron is not in the first edition.)

It's not a scholarly tome: instead, it's a fun and intelligent introduction to Euclid's Elements with lots of interesting digressions. A great book for anyone interested in math!

I should also get ahold of this someday:

7) Benno Artmann, Antike Darstellungen des Ikosaeders, Mitt. DMV 13 (2005), 45-50.

Heath's translation of and commentary on Euclid's Elements is available online thanks to the Perseus Project. The scholium crediting Theatetus for the octahedron and icosahedron is discussed here:

while the textual history of the Elements is discussed here:

9) Euclid, Elements, trans. Thomas L. Heath, Chapter 5: The Text, p. 46. Also available at http://old.perseus.tufts.edu/cgi-bin/ptext?lookup=Euc.+5

Anyone interested in Greek mathematics also needs these books by Heath, now available cheap from Dover:

10) Thomas L. Heath, A History of Greek Mathematics. Vol. 1: From Thales to Euclid. Vol. 2: From Aristarchus to Diophantus. Dover Publications, 1981.

The long quote by Waterhouse comes from here:

11) William C. Waterhouse, The discovery of the regular solids, Arch. Hist. Exact Sci. 9 (1972-1973), 212-221.

I haven't yet gotten my hold on this "thorough study" mentioned by Waterhouse - but I will soon:

12) Eva Sachs, Die funf platonischen Koerper, zur Geschichte der Mathematik und der Elementenlehre Platons und der Pythagoreer, Berlin, Weidmann, 1917.

I also want to find this discussion of how Peyrard got ahold of the non-Theonine copy of Euclid's Elements:

13) N. M. Swerlow, The Recovery of the exact sciences of antiquity: mathematics, astronomy, geography, in Rome Reborn: The Vatican Library and Renaissance Culture, ed. Grafton, 1993.

Here is Atiyah and Sutcliffe's paper claiming that the Ashmolean has Scottish stone balls shaped like Platonic solids:

14) Michael Atiyah and Paul Sutcliffe, Polyhedra in physics, chemistry and geometry, available as arXiv:math-ph/0303071.

Here is le Bruyn's critical examination of that claim:

Here are the books by Critchlow and Lawlor -speculative books from the "sacred geometry" tradition:

16) Keith Critchlow, Time Stands Still, Gordon Fraser, London, 1979.

17) Robert Lawlor, Sacred Geometry: Philosophy and Practice, Thames and Hudson, London, 1982. Available at http://www.scribd.com/doc/13155707/robert-lawlor-sacred-geometry-philosophy-and-practice-1982

Here's the Ashmolean website:

18) British Archaeology at the Ashmolean Museum, Highlights of the British collections: stone balls, http://ashweb2.ashmus.ox.ac.uk/ash/britarch/highlights/stone-balls.html

and here's Dorothy Marshall's paper on stone balls:

In the process of researching my talk, I learned a lot about Euclid's Elements, where the construction of the icosahedron - supposedly due to Theaetetus - is described. This construction is Proposition XIII.16, in the final book of the Elements, which is largely about the Platonic solids. This book also has some fascinating results about the golden ratio and polygons with 5-fold symmetry!

The coolest one is Proposition XIII.10. It goes like this.

Take a circle and inscribe a regular pentagon, a regular hexagon, and a regular decagon. Take the edges of these shapes, and use them as the sides of a triangle. Then this is a right triangle!

is the side of the pentagon,

is the side of the hexagon, and

is the side of the decagon, then

We can prove this using algebra - but Euclid gave a much cooler proof, which actually find this right triangle hiding inside an icosahedron.

First let's give a completely uninspired algebraic proof.

Start with a unit circle. If we inscribe a regular hexagon in it, then obviously

So we just need to compute P and D. If we think of the unit circle as living in the complex plane, then the solutions of

are the corners of a regular pentagon. So let's solve this equation. We've got

0 = z 5 - 1 = (z - 1)(z 4 + z 3 + z 2 + z + 1)

so ignoring the dull solution z = 1, we must solve

This says that the center of mass of the pentagon's corners lies right in the middle of the pentagon.

Now, quartic equations can always be solved using radicals, but it's a lot of work. Luckily, we can solve this one by repeatedly using the quadratic equation! And that's why the Greeks could construct the regular pentagon using a ruler and compass.

The trick is to rewrite our equation like this:

Now it's a quadratic equation in a new variable. So while I said this proof would be uninspired, it did require a tiny glimmer of inspiration. But that's all! Let's write

Solving this, we get two solutions. The one I like is the golden ratio:

This is another quadratic equation:

with two conjugate solutions, one being

I've sneakily chosen the solution that's my favorite 5th root of unity:

z = exp(2&pii/5) = cos(2&pi/5) + i sin(2&pi/5)

A fact we should have learned in high school, but probably never did.

Now we're ready to compute P, the length of the side of a pentagon inscribed in the unit circle:

Next let's compute D, the length of the side of a decagon inscribed in the unit circle! We can mimic the last stage of the above calculation, but with an angle half as big:

To go further, we can use a half-angle formula:

But we can simplify this a bit more. As any lover of the golden ratio should know,

Okay. Your eyes have glazed over by now - unless you've secretly been waiting all along for This Week's Finds to cover high-school algebra and trigonometry. But we're done. We see that

That wasn't so bad, but imagine discovering it and proving it using axiomatic geometry back around 300 BC! Hvordan gjorde de det?

20) Ian Mueller, Philosophy of Mathematics and Deductive Structure in Euclid's Elements, MIT Press, Cambridge Massachusetts, 1981.

This is reputed to be be the most thorough investigation of the logical structure of Euclid's Elements! And starting on page 257 he discusses how people could have discovered P 2 = H 2 + D 2 by staring at an icosahedron!

This should not be too surprising. After all, there are pentagons, hexagons and decagons visible in the icosahedron. But I was stuck until I cheated and read Mueller's explanation.

If you hold an icosahedron so that one vertex is on top and one is on bottom, you'll see that its vertices are arranged in 4 horizontal layers. From top to bottom, these are:

  • 1 vertex on top
  • 5 vertices forming a pentagon: the "upper pentagon"
  • 5 vertices forming a pentagon: the "lower pentagon"
  • 1 vertex on bottom

Pick a vertex from the upper pentagon: call this A. Pick a vertex as close as possible from the lower pentagon: call this B. A is not directly above B. Drop a vertical line down from A until it hits the horizontal plane on which B lies. Call the resulting point C.

If you think about this, or better yet draw it, you'll see that ABC is a right triangle. And if we apply the Pythagorean theorem to this triangle we'll get the equation

To see this, we only need to check that:

    the length AB equals the edge of a pentagon inscribed in a circle

Different circles, but of the same radius! What's this radius? Take all 5 vertices of the "upper pentagon". These lie on a circle, and this circle has the right radius.

Using this idea, it's easy to see that the length AB equals the edge of a pentagon inscribed in a circle. It's also easy to see that BC equals the edge of a decagon inscribed in a circle of the same radius. The hard part, at least for me, is seeing that AC equals the edge of a hexagon inscribed in a circle of the same radius. or in other words, the radius of that circle! (The hexagon seems to be a red herring.)

To prove this, we need a wonderful fact: the distance between the "upper pentagon" and the "lower pentagon" equals the radius of the circle containing the vertices of the upper pentagon!

I just found a very beautiful proof. I could explain it easily with lots of pictures, but I'm too lazy to draw them electronically. I don't feel too guilty about this, though: I've given enough clues for you to figure everything out and draw the pictures yourself. It's lots of fun. And if you draw nice electronic pictures, I'd love to include them here and credit you!

Okay, okay. I'll give you one more hint. Consider the "top" vertex of the icosahedron and the 5 vertices forming the "upper pentagon". Lade EN be any vertex on the upper pentagon, and let B be the top vertex. Drop a vertical line from the top vertex until it hits the plane of the upper pentagon call the point where it hits C. Prove that the triangle ABC is congruent to the right triangle ABC. And using this, show the distance between the "upper pentagon" and the "lower pentagon" equals the radius of the circle containing the vertices of the upper pentagon!

    the length AB equals the edge of a pentagon inscribed in a circle

I thank Toby Bartels for help with some of this stuff.

Tillæg: Kevin Buzzard explained some of the Galois theory behind why the pentagon can be constructed with ruler and compass - or in other words, why the quartic

can be solved by solving first one quadratic and then another.

("this one" being z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0.)

. og det er because the Galois group of that bestemt irreducible polynomial is "only" cyclic of order 4. The splitting field is Q(&zeta5), which is a cyclotomic field, so has Galois group (Z/5Z)*. No Z/3Z factors so no messing around with cube roots, for example.

With this observation above, I'm trying to convince you that the proof really er completely uninspired To solve the quartic by solving two quadratics, you need to locate the degree 2 subfield of Q(z) (z=&zeta5) and aim towards it (because it's your route to the solution). This subfield is clearly the real numbers in Q(z), and the real numbers in Q(z) contains z+z*=z+z -1 . So that's sort of a completely conceptual explanation of why the trick works and why it's crucial to introduce z+z -1 .


Mathematical Treasure: Euclid Proposition on Papyrus

This papyrus fragment is one of the the oldest, if not the oldest, existing text from Euclid&rsquos Elementer. Euclid compiled and wrote his Elementer in Alexandria, Egypt, in about 300 BCE, in Greek. The fragment, also written in Greek, was found in Egypt in 1897 and has been dated to the end of the first century CE. It is called the Oxyrhynchus papyrus, named after the place in Egypt where it was found. Archeologists B. P. Grenfell and A. S. Hunt uncovered an ancient rubbish dump from which they excavated many valuable finds, among which was this fragment. The text and diagram are from Euclid&rsquos Elementer, Book II, Proposition 5, which states:

If a straight line is cut into equal and unequal segments, the rectangle contained by the unequal segments of the whole, together with the square on the straight line between the points of the section, is equal to the square on the half.

The image was made by William Casselman, University of British Columbia, from the papyrus collection at the University of Pennsylvania and is used with his permission. For additional information about the papyrus, see Casselman's webpage about it, titled "One of the Oldest Extant Diagrams from Euclid."

Frank J. Swetz (The Pennsylvania State University), "Mathematical Treasure: Euclid Proposition on Papyrus," Convergence (August 2013)


The books

Elements consists of 13 books, the first 6 refer to basic plane geometry. From the seventh to the tenth deals with all numerical issues Prime, radical, and divisibility numbers. The last 3 books cover topics on geometry of solids, polyhedra and circumstantial spheres. To consult the published books, you can follow the following link.

  • Book I
  • Book II
  • Book III
  • Book IV
  • Book V
  • Book VI
  • Book VII
  • Book VIII
  • Book IX
  • Book X
  • Book XI
  • Book XII
  • Book XIII

Book XII and Book XIII are complete and available in Spanish-Catalan, comparable to Heath’s text. With a multitude of pending corrections, we hope the start of the new phase that begins the project.


The Reader Intervention

Det Elementer, which contains 13 volumes, has appeared in at least hundreds of editions, and until the last century it was the second-best-selling book in the world. (The Bible was first.) But not everything in the Elementer came from Euclid. The volumes represent a collection of mathematics knowledge known to the Greeks at the time. Physicist Stephen Hawking described Euclid as “the greatest mathematical encyclopedist of all time,” likening him to Noah Webster, who assembled the first English language dictionary (2).

Det Elementer was translated from Greek, Arabic, Latin, Hebrew, and other languages. The treatise evolved as it grew and migrated—and so did the diagrams. Readers made notes in the margins and inserted changes. Later readers and translators saw both the manuscript and the additions and made revisions that seemed appropriate for their time. Those interactions are captured in transcriptions of the proofs and diagrams in the Elementer, and the act of copying became an act of transformation, says Eunsoo Lee, a PhD student at Stanford University studying the evolution of diagrams over time in the Elements.

“We may easily forget about the role of readers in the making of diagrams,” says Lee, noting that they could intervene or intermingle by marking on the manuscript. Later, scribes took those notes into consideration. “If they determined that the marginal diagrams [were] superior to the main diagrams,” explains Lee, “the marginal diagrams were adopted as the main diagrams for later generations.” These visual changes conveyed mathematical ideas in ways that couldn't be transmitted through text.

It’s too simplistic to call these changes errors. Some of the changes may have been intended as improvements others arose from cultural practices. Arabic reads right-to-left, for example, so in early Arabic versions of the Elementer the orientations of its diagrams were often flipped—angles that opened to the left in ancient Greek manuscripts opened to the right in the Arabic versions. However, when those Arabic versions were translated into Latin, some scribes didn’t flip the diagrams back.

Mathematician Robin Hartshorne, retired from the University of California, Berkeley, further argues that it’s not necessarily fair to see changing the diagrams as a corrective process. Even with curves and erasures, those pentadecagon diagrams got the point across. Printing the Elementer with accurate diagrams reflects the values of a time, he says, but it's a practice disloyal to earlier versions. “I would call it redrawing the diagram to the taste of modern mathematicians who like to see metrical exactness,” says Hartshorne.

“These are hand-drawn diagrams of things that are not necessarily easy to represent,” adds science historian Courtney Roby, who studies ancient scientific texts at Cornell University, in Ithaca, New York. “Diagrams are the creations of individual authors and scribes, and their creativity and experimentation and change.”


The History of Physics #1 – Introduction

With its form and content, physics has started in a way with Galileo Galilei (1564-1642) and Sir Isaac Newton’s (1642-1727) works.

Newton’s “Philosophiae Naturalis Principa Mathematica” or just “Principia” published in 1686 has 3 books and is one of the most important sources for modern science.

This title describes this branch of science named physics in a really nice way. Physics are based on movement at the most basic level.

Movement is the way things change their places in space and time. The terms space and time are more than what a normal human brain can process make the word “Movement” harder to understand.

2. Newton’s personal copy of the first edition of Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, annotated by him for the second edition. Displayed at Cambridge University Library.

Another thing that makes movement hard to understand is that movement is relative to the observer and never the same to two or more places or observers. Movement changes accordingly to the place the observer observes.

These differences in observations gave scientists the suspicion of the way something moves to be able to change according to the observation system.

Even though Newton’s “Principia” has the mathematical basis of classical physics, the base terms of physics have been put forth by Galileo.

Because of that, it would be more appropriate if we thought of physics as before and after Galileo. The “before Galileo” era of physics had far less information for understanding the world around us.

To interpret the ideas and experiences of that era with our advanced knowledge would be extremely meaningless, but Ancient Greek philosophers’ thoughts and ways of thinking have built up the base knowledge of both classical (1600-1900) and modern (1900-today) physics.

The most important thing that made physics go forth in the ancient era is most probably Eukleides (325-265 B.C.) redefining geometry and putting it into a systematic order.

One of the oldest surviving fragments of Euclid’s Elementer, found at Oxyrhynchus and dated to circa AD 100 (P. Oxy. 29). The diagram accompanies Book II, Proposition 5

Eukleides’ book named “Stoikhea” consists of 13 installments and it’s the first systematic debate about geometry. Some of the axioms’ debates in this book were relevant until the end of 19. Century. Then they realized the flaws and perfected them.

  1. Cover image: Various examples of physical phenomena collage by Daniele Pugliesi (Public Domain)
  2. Newton’s personal copy of the first edition of Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, annotated by him for the second edition. Displayed at Cambridge University Library. (CC BY-SA 4.0)
  3. One of the oldest surviving fragments of Euclid’s Elementerhttp://www.math.ubc.ca/

Tunçer Efe Kıray

I'm Efe, 16. I'm studying at the Istanbul High School , one of the most prestigious high schools in Turkey. I have been a professional chess player for 9 years. I want to study Physics at the university.


Se videoen: MC ESCHER LEVEL DESIGN. Fragments of Euclid Walkthrough u0026 Secret